જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય; $b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોય અને $\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ એ $A.P.$ માં હોય,તો સાબિત કરો કે $a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે.

(N/A) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore 2b = a + c$ .......$(1)$
આપેલ છે કે $b, c, d$ એ $G.P.$ માં છે.
$\therefore c^{2} = bd$ .......$(2)$
વળી,$\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore \frac{2}{d} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$ .......$(3)$
આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે,એટલે કે $c^{2} = ae.$
$(1)$ પરથી,$b = \frac{a+c}{2}.$
$(2)$ પરથી,$d = \frac{c^{2}}{b}.$
આ કિંમતો $(3)$ માં મૂકતા:
$\frac{2}{\frac{c^{2}}{b}} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$
$\frac{2b}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{2(\frac{a+c}{2})}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c} = \frac{e+c}{e}$
$(a+c)e = c(e+c)$
$ae + ce = ce + c^{2}$
$c^{2} = ae$
આમ,$a, c, e$ એ $G.P.$ માં છે.