यदि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं; $b, c, d$ $G.P.$ में हैं और $\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ $A.P.$ में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $a, c, e$ $G.P.$ में हैं।

(N/A) यह दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore 2b = a + c$ .......$(1)$
यह दिया गया है कि $b, c, d$ $G.P.$ में हैं।
$\therefore c^{2} = bd$ .......$(2)$
साथ ही,$\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore \frac{2}{d} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$ .......$(3)$
हमें सिद्ध करना है कि $a, c, e$ $G.P.$ में हैं,अर्थात $c^{2} = ae.$
$(1)$ से,$b = \frac{a+c}{2}.$
$(2)$ से,$d = \frac{c^{2}}{b}.$
इन मानों को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{\frac{c^{2}}{b}} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$
$\frac{2b}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{2(\frac{a+c}{2})}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c} = \frac{e+c}{e}$
$(a+c)e = c(e+c)$
$ae + ce = ce + c^{2}$
$c^{2} = ae$
अतः,$a, c, e$ $G.P.$ में हैं।