यदि A = begin{bmatrix} cos theta & i sin thet | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos 	heta & i \sin 	heta \ i \sin 	heta & \cos 	heta \end{bmatrix}$.इस विशिष्ट आव्यूह रूप के गुण का उपयोग क

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$a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$

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(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos 	heta & i \sin 	heta \ i \sin 	heta & \cos 	heta \end{bmatrix}$.इस विशिष्ट आव्यूह रूप के गुण का उपयोग करते हुए,$A^{n} = \begin{bmatrix} \cos n	heta & i \sin n	heta \ i \sin n	heta & \cos n	heta \end{bmatrix}$ होता है।$n = 5$ के लिए,$A^{5} = \begin{bmatrix} \cos 5	heta & i \sin 5	heta \ i \sin 5	heta & \cos 5	heta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$.अतः,$a = \cos 5	heta$,$b = i \sin 5	heta$,$c = i \sin 5	heta$,$d = \cos 5	heta$.अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:$a^{2} + b^{2} = \cos^{2} 5	heta + (i \sin 5	heta)^{2} = \cos^{2} 5	heta - \sin^{2} 5	heta = \cos 10	heta = \cos(10 	imes \frac{\pi}{24}) = \cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos 75^{\circ}$. चूँकि $0 \leq \cos 75^{\circ} \leq 1$,विकल्प $A$ सत्य है।$a^{2} - d^{2} = \cos^{2} 5	heta - \cos^{2} 5	heta = 0$. विकल्प $B$ सत्य है।$a^{2} - b^{2} = \cos^{2} 5	heta - (i \sin 5	heta)^{2} = \cos^{2} 5	heta + \sin^{2} 5	heta = 1$. विकल्प $C$ कहता है कि $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$,जो कि असत्य है।$a^{2} - c^{2} = \cos^{2} 5	heta - (i \sin 5	heta)^{2} = \cos^{2} 5	heta + \sin^{2} 5	heta = 1$. विकल्प $D$ सत्य है।अतः,जो कथन सत्य नहीं है वह $a^{2} - b^{2} = \frac{1}{2}$ है।

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