यदि {b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2}) है,तो समीकर | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए कि ${D_1}$ और ${D_2}$ क्रमशः ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ समीकरणों के विविक्तकर (discriminants) हैं।विवि

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वास्तविक मूल होते हैं

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(A) मान लीजिए कि ${D_1}$ और ${D_2}$ क्रमशः ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ समीकरणों के विविक्तकर (discriminants) हैं।विविक्तकर ${D_1} = b_1^2 - 4{c_1}$ और ${D_2} = b_2^2 - 4{c_2}$ द्वारा दिए जाते हैं।इनका योग करने पर,${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 4({c_1} + {c_2})$ प्राप्त होता है।यह दिया गया है कि ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$,इसलिए हम $4({c_1} + {c_2}) = 2{b_1}{b_2}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 2{b_1}{b_2} = {(b_1 - b_2)^2}$.चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा अ-ऋणात्मक (non-negative) होता है,इसलिए ${D_1} + {D_2} \ge 0$ होगा।यदि दो वास्तविक संख्याओं का योग अ-ऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अ-ऋणात्मक होनी चाहिए। अतः,${D_1} \ge 0$ या ${D_2} \ge 0$ होगा।एक द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक होते हैं यदि उसका विविक्तकर शून्य या शून्य से अधिक हो। इस प्रकार,कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक होंगे।

यदि ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$ है,तो समीकरणों ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ में से कम से कम एक समीकरण के

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $x^{3} \times 13 = x^{2} \times 247$
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एक द्विघात समीकरण बनाइए जिसके मूल $\sqrt{2}$ और $2 \sqrt{2}$ हैं।

यदि $\frac{2x}{2x^2 + 5x + 2} > \frac{1}{x + 1}$ है,तो

वह मान $a$ जिसके लिए द्विघात समीकरण $(a^2 - 5a + 3)x^2 + (3a - 1)x + 2 = 0$ का एक मूल दूसरे का दोगुना है,है

वे मान $a$ और $b$ जिनके लिए समीकरण $x^4 - 4x^3 + ax^2 + bx + 1 = 0$ के चार वास्तविक मूल हैं,हैं:

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