यदि a, b, c, d और p भिन्न वास्तविक संख्याएँ इ | vedclass

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Question

(D) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ है।इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:$(a^2 p^2 - 2abp

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$a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

Vedclass · Answer

(D) दी गई असमिका $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$ है।इसे इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:$(a^2 p^2 - 2abp + b^2) + (b^2 p^2 - 2bpc + c^2) + (c^2 p^2 - 2cpd + d^2) \le 0$.यह सरल होकर निम्न रूप लेता है:$(ap - b)^2 + (bp - c)^2 + (cp - d)^2 \le 0$.चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग का $0$ या उससे कम होना केवल तभी संभव है जब प्रत्येक पद $0$ हो।अतः,$ap - b = 0$,$bp - c = 0$,और $cp - d = 0$.इसका अर्थ है $p = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = \frac{d}{c}$.यह गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ की परिभाषा है,जहाँ $a, b, c, d$ सार्व अनुपात $p$ के साथ $G.P.$ में हैं।

यदि $a, b, c, d$ और $p$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $(a^2 + b^2 + c^2)p^2 - 2p(ab + bc + cd) + (b^2 + c^2 + d^2) \le 0$,तो

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर दें।
$I.$ $3x^2 - (6 + \sqrt{17})x + 2\sqrt{17} = 0$
$II.$ $5y^2 - (15 - \sqrt{17})y - 3\sqrt{17} = 0$

यदि $x+\frac{1}{y}=1$ और $y+\frac{1}{z}=1$ है,तो $z+\frac{1}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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