यदि log_3 2, log_3(2^x - 5) और log_3(2^x - 7/ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - 7/2)$ $A.P.$ में हैं।चूंकि वे $A.P.$ में हैं,मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य है:

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इनमें से कोई नहीं

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - 7/2)$ $A.P.$ में हैं।चूंकि वे $A.P.$ में हैं,मध्य पद अन्य दो पदों का समांतर माध्य है: $2 \log_3(2^x - 5) = \log_3 2 + \log_3(2^x - 7/2)$.लघुगणक के गुणधर्म $\log_b a + \log_b c = \log_b(ac)$ का उपयोग करने पर: $\log_3(2^x - 5)^2 = \log_3[2(2^x - 7/2)]$.तुलना करने पर: $(2^x - 5)^2 = 2(2^x) - 7$.मान लीजिए $y = 2^x$. तब $(y - 5)^2 = 2y - 7$.$y^2 - 10y + 25 = 2y - 7$.$y^2 - 12y + 32 = 0$.गुणनखंड करने पर: $(y - 8)(y - 4) = 0$,अतः $y = 8$ या $y = 4$.यदि $y = 8$,तो $2^x = 8 \Rightarrow x = 3$.यदि $y = 4$,तो $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$.डोमेन की जांच करने पर: $\log_3(2^x - 5)$ को परिभाषित होने के लिए $2^x - 5 > 0$ होना चाहिए,अर्थात $2^x > 5$.यदि $x = 2$,तो $2^2 = 4$,जो $5$ से बड़ा नहीं है। अतः,$x = 2$ अमान्य है।यदि $x = 3$,तो $2^3 = 8$,जो $5$ से बड़ा है। अतः,$x = 3$ ही एकमात्र हल है।चूंकि $3$ किसी भी विकल्प में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

यदि $\log_3 2, \log_3(2^x - 5)$ और $\log_3(2^x - 7/2)$ $A.P.$ में हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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