यदि a, b, c, d हरात्मक श्रेणी (H.P.) में हैं, | vedclass

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Question

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ मे

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$ac + bd > b^2 + c^2$

Vedclass · Answer

(C) यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में होंगे।$H.P.$ में किन्हीं तीन क्रमागत पदों के लिए,मध्य पद अन्य दो पदों का हरात्मक माध्य होता है। अतः,$b = \frac{2ac}{a+c}$ और $c = \frac{2bd}{b+d}$ है।हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए,गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ हरात्मक माध्य $(H.M.)$ से बड़ा होता है।$a$ और $c$ के लिए,$G.M. = \sqrt{ac}$ और $H.M. = b$ है। इसलिए,$\sqrt{ac} > b \Rightarrow ac > b^2$।इसी प्रकार,$b$ और $d$ के लिए,$G.M. = \sqrt{bd}$ और $H.M. = c$ है। इसलिए,$\sqrt{bd} > c \Rightarrow bd > c^2$।इन दोनों असमिकाओं को जोड़ने पर,हमें $ac + bd > b^2 + c^2$ प्राप्त होता है।

यदि $a, b, c, d$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं,तो

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