यदि tan theta - cot theta = a और sin theta + | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $	an 	heta - \cot 	heta = a$ $(i)$ और $\sin 	heta + \cos 	heta = b$ $(ii)$।अब,व्यंजक $({b^2} - 1)^2({a^2} + 4)$ पर विचार करें।

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$4$

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(D) दिया गया है कि $	an 	heta - \cot 	heta = a$ $(i)$ और $\sin 	heta + \cos 	heta = b$ $(ii)$।अब,व्यंजक $({b^2} - 1)^2({a^2} + 4)$ पर विचार करें।$b = \sin 	heta + \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर:$b^2 - 1 = (\sin 	heta + \cos 	heta)^2 - 1 = 1 + 2 \sin 	heta \cos 	heta - 1 = 2 \sin 	heta \cos 	heta = \sin 2	heta$।अतः,$(b^2 - 1)^2 = \sin^2 2	heta$।$a = 	an 	heta - \cot 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर:$a^2 + 4 = (	an 	heta - \cot 	heta)^2 + 4 = 	an^2 	heta + \cot^2 	heta - 2 + 4 = 	an^2 	heta + \cot^2 	heta + 2 = (	an 	heta + \cot 	heta)^2$।चूंकि $	an 	heta + \cot 	heta = \frac{\sin 	heta}{\cos 	heta} + \frac{\cos 	heta}{\sin 	heta} = \frac{\sin^2 	heta + \cos^2 	heta}{\sin 	heta \cos 	heta} = \frac{1}{\sin 	heta \cos 	heta} = \frac{2}{\sin 2	heta}$।इसलिए,$(a^2 + 4) = (\frac{2}{\sin 2	heta})^2 = \frac{4}{\sin^2 2	heta}$।दोनों भागों का गुणा करने पर:$(b^2 - 1)^2(a^2 + 4) = \sin^2 2	heta 	imes \frac{4}{\sin^2 2	heta} = 4$।वैकल्पिक रूप से,चूंकि व्यंजक $	heta$ से स्वतंत्र है,$	heta = 45^\circ$ रखने पर,$a = 0$ और $b = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है। मान रखने पर: $((\sqrt{2})^2 - 1)^2(0^2 + 4) = 4$।

यदि $\tan \theta - \cot \theta = a$ और $\sin \theta + \cos \theta = b$ है,तो ${({b^2} - 1)^2}({a^2} + 4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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