यदि m और M फलन 4 + frac{1}{2} sin^2 2x - 2 co | vedclass

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Question

(A) माना $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:$f(x) = 4 + \fr

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$\frac{9}{4}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = 4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$.$\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x = 4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:$f(x) = 4 + \frac{1}{2} [4(1 - \cos^2 x) \cos^2 x] - 2 \cos^4 x$$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 2 \cos^4 x - 2 \cos^4 x$$f(x) = 4 + 2 \cos^2 x - 4 \cos^4 x$.माना $t = \cos^2 x$,जहाँ $0 \le t \le 1$.$f(t) = -4t^2 + 2t + 4$.यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका शीर्ष $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-4)} = \frac{1}{4}$ पर है।चूँकि $\frac{1}{4} \in [0, 1]$,अधिकतम मान $M$,$t = \frac{1}{4}$ पर प्राप्त होता है:$M = f(\frac{1}{4}) = -4(\frac{1}{16}) + 2(\frac{1}{4}) + 4 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 4 = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}$.न्यूनतम मान $m$,सीमाओं $t=0$ या $t=1$ पर प्राप्त होता है:$f(0) = 4$.$f(1) = -4(1)^2 + 2(1) + 4 = 2$.अतः,$m = 2$.$M - m = \frac{17}{4} - 2 = \frac{17 - 8}{4} = \frac{9}{4}$.

यदि $m$ और $M$ फलन $4 + \frac{1}{2} \sin^2 2x - 2 \cos^4 x$ के न्यूनतम और अधिकतम मान हैं,जहाँ $x \in R$,तो $M - m$ का मान ज्ञात कीजिए।

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