8 cos^2 x + 18 sec^2 x का न्यूनतम मान,जहाँ यह | vedclass

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Question

(C) माना $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ है।धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{8 \cos^2 x + 18

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$26$

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(C) माना $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ है।धनात्मक पदों के लिए समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{8 \cos^2 x \cdot 18 \sec^2 x}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq 12$$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x \geq 24$.हालाँकि,हमें यह जांचना होगा कि क्या समानता संभव है। $AM$-$GM$ में समानता तब होती है जब $8 \cos^2 x = 18 \sec^2 x$ हो।$\cos^4 x = \frac{18}{8} = 2.25$। चूँकि $\cos^4 x$ का मान $1$ से अधिक नहीं हो सकता,इसलिए यह समानता संभव नहीं है।अब,फलन $f(x) = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ पर विचार करें। माना $t = \cos^2 x$ है। तब $y = 8t + \frac{18}{t}$,जहाँ $t \in (0, 1]$ है।$f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ का अवकलन $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ है। $f'(t) = 0$ रखने पर $t^2 = 2.25$,अर्थात $t = 1.5$,जो डोमेन $(0, 1]$ के बाहर है।चूँकि $t \in (0, 1]$ के लिए $f'(t) अतः,न्यूनतम मान $t$ के अधिकतम मान $t = 1$ (अर्थात $\cos^2 x = 1$) पर प्राप्त होगा।$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 8 + 18 = 26$।

$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ का न्यूनतम मान,जहाँ यह परिभाषित है,ज्ञात कीजिए:

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