8 cos^2 x + 18 sec^2 x ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \

Vedclass · Accepted Answer

$26$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $y = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$.ધન પદો માટે સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક ($AM$-$GM$) અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{8 \cos^2 x \cdot 18 \sec^2 x}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144 \cdot \cos^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq \sqrt{144}$$\frac{8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x}{2} \geq 12$$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x \geq 24$.જોકે,આપણે તપાસવું પડશે કે સમાનતા શક્ય છે કે નહીં. $AM$-$GM$ માં સમાનતા ત્યારે જ મળે જ્યારે $8 \cos^2 x = 18 \sec^2 x$ થાય.$\cos^4 x = \frac{18}{8} = 2.25$. કારણ કે $\cos^4 x$ ની કિંમત $1$ થી વધી શકે નહીં,તેથી આ સમાનતા શક્ય નથી.હવે,વિધેય $f(x) = 8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $t = \cos^2 x$. તો $y = 8t + \frac{18}{t}$,જ્યાં $t \in (0, 1]$.$f(t) = 8t + \frac{18}{t}$ નું વિકલન $f'(t) = 8 - \frac{18}{t^2}$ થાય. $f'(t) = 0$ લેતા $t^2 = 2.25$,એટલે કે $t = 1.5$,જે પ્રદેશ $(0, 1]$ ની બહાર છે.$t \in (0, 1]$ માટે $f'(t) તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $t$ ની મહત્તમ કિંમત $t = 1$ (એટલે કે $\cos^2 x = 1$) પર મળશે.$y_{min} = 8(1) + \frac{18}{1} = 8 + 18 = 26$.

$8 \cos^2 x + 18 \sec^2 x$ ની ન્યૂનતમ કિંમત,જ્યાં તે વ્યાખ્યાયિત છે,તે શોધો:

Similar Questions

વાસ્તવિક કિંમતો $\theta$ માટે $\cos 2\theta + \cos \theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શું છે?

નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $A, B, C$ એ ત્રણ ખૂણાઓ છે જેથી $\sin A + \sin B + \sin C = 0$ થાય. તો,$\frac{\sin A \sin B \sin C}{\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C}$ (જ્યાં વ્યાખ્યાયિત હોય) ની કિંમત શોધો:

$\frac{{\sqrt 2 - \sin \alpha - \cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha }} = $

જો $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{4}{5}, \sin (\alpha - \beta ) = \frac{5}{13}$ અને $\alpha, \beta$ એ $0$ અને $\frac{\pi}{4}$ ની વચ્ચે હોય,તો $\tan 2\alpha = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module