यदि $a, b, c$ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं जहाँ $c$ कर्ण है,तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज के अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{a + b - c}{2}$ द्वारा दी जाती है।

(N/A) मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज $ABC$ का अंतःवृत्त भुजाओं $BC, CA, AB$ को क्रमशः $D, E, F$ पर स्पर्श करता है,जहाँ $BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है। मान लीजिए $O$ वृत्त का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है।
चूँकि एक बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है,इसलिए हमारे पास $AE = AF$,$BD = BF$ और $CD = CE = r$ है।
चतुर्भुज $CDOE$ में,चूँकि $\angle C = 90^\circ$ है और त्रिज्याएँ स्पर्श रेखाओं पर लंब होती हैं,इसलिए $\angle ODC = \angle OEC = 90^\circ$ है। अतः,$CDOE$ एक $r$ भुजा वाला वर्ग है।
इसलिए,$CD = CE = r$ है।
आकृति से,$AF = AE = b - r$ और $BF = BD = a - r$ है।
चूँकि $AB = c$ है,इसलिए हमारे पास $AF + BF = c$ है।
मान रखने पर,$(b - r) + (a - r) = c$ प्राप्त होता है।
$a + b - 2r = c$।
$2r = a + b - c$।
$r = \frac{a + b - c}{2}$।