જો $P, Q$ અને $R$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $BC, CA$ અને $AB$ ના મધ્યબિંદુઓ હોય અને $AD$ એ $A$ માંથી $BC$ પરનો લંબ હોય,તો સાબિત કરો કે $P, Q, R$ અને $D$ એકવર્તુળીય (concyclic) છે.

(N/A) આપણે સાબિત કરવાનું છે કે $R, D, P$ અને $Q$ એકવર્તુળીય છે.
$RD, QD, PR$ અને $PQ$ ને જોડો.
કારણ કે $RP$ એ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ $R$ અને $P$ ને જોડે છે,મધ્યબિંદુ પ્રમેય મુજબ,$RP \parallel AC$.
તે જ રીતે,$PQ \parallel AB$.
તેથી,$ARPQ$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$\angle RAQ = \angle RPQ$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા) ... $(1)$
કાટકોણ ત્રિકોણ $ABD$ માં,$DR$ એ કર્ણ $AB$ પરની મધ્યગા છે. તેથી,$RA = RD$,જે સૂચવે છે કે $\angle 1 = \angle B$.
તે જ રીતે,કાટકોણ ત્રિકોણ $ACD$ માં,$DQ$ એ કર્ણ $AC$ પરની મધ્યગા છે. તેથી,$QA = QD$,જે સૂચવે છે કે $\angle 3 = \angle C$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
વધુમાં,$\triangle RDQ$ માં,$\angle RDQ = 180^{\circ} - (\angle DRQ + \angle DQR) = 180^{\circ} - (2\angle B + 2\angle C) = 180^{\circ} - 2(\angle B + \angle C) = 180^{\circ} - 2(180^{\circ} - \angle A) = 2\angle A - 180^{\circ}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ચક્રીય ચતુષ્કોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,$\angle RPQ = \angle A$ અને $\angle RDQ = \angle RDA + \angle ADQ = \angle RAD + \angle QAD = \angle A$. કારણ કે $\angle RPQ = \angle A$ અને $\angle RDQ = \angle A$,બિંદુઓ $R, D, P, Q$ એકવર્તુળીય છે કારણ કે તેઓ $RQ$ ના એક જ તરફ સમાન ખૂણા આંતરે છે.