यदि $x = 2 + \sqrt{3}$ है,तो $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ और $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

(N/A) दिया गया है $x = 2 + \sqrt{3}.$
सबसे पहले,$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ज्ञात करें।
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
अब,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ का उपयोग करें।
$4^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies 16 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14.$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ ज्ञात करने के लिए,सर्वसमिका $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ का उपयोग करें।
$4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(4) \implies 64 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \implies x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52.$
अतः,मान $14$ और $52$ हैं।