यदि f(x) = int frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$. समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \i

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$4$

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(C) दिया गया है $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$. समाकलन के अंदर अंश और हर को $x^{14}$ से विभाजित करने पर: $f(x) = \int \frac{5x^{-6} + 7x^{-8}}{(x^{-5} + x^{-7} + 2)^{2}} dx$. माना $t = x^{-5} + x^{-7} + 2$. तब $dt = (-5x^{-6} - 7x^{-8}) dx$,जिसका अर्थ है $-(5x^{-6} + 7x^{-8}) dx = dt$. इसे समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = \int -\frac{dt}{t^{2}} = \frac{1}{t} + C = \frac{1}{x^{-5} + x^{-7} + 2} + C = \frac{x^{7}}{1 + x^{2} + 2x^{7}} + C$. चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$f(x) = \frac{x^{7}}{x^{2} + 1 + 2x^{7}}$. $x = 1$ पर मान ज्ञात करने पर: $f(1) = \frac{1^{7}}{1^{2} + 1 + 2(1)^{7}} = \frac{1}{1 + 1 + 2} = \frac{1}{4}$. चूंकि $f(1) = \frac{1}{K}$,इसलिए $K = 4$ है।

यदि $f(x) = \int \frac{5x^{8} + 7x^{6}}{(x^{2} + 1 + 2x^{7})^{2}} dx$,$(x \geq 0)$,$f(0) = 0$ और $f(1) = \frac{1}{K}$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

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समाकलन $\int \frac{\sin ^2 x \cos ^2 x \,dx}{(\sin ^5 x+\cos ^3 x \sin ^2 x+\sin ^3 x \cos ^2 x+\cos ^5 x)^2}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है)।

समाकलन $\int \sec^{\frac{2}{3}} x \cdot \operatorname{cosec}^{\frac{4}{3}} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{\sin x}{\sqrt{5 \sin ^2 x+6 \cos ^2 x}} \,d x=$

यदि $\int \sin ^5 x \, dx = \frac{-\cos ^5 x}{5} + a \cos ^3 x + b \cos x + c$ है,तो $a + b =$

$\int \frac{4 x^2 \cot ^{-1}\left(x^3\right)}{1+x^6} \,d x=$ (जहाँ $C$ समाकलन का एक स्थिरांक है।)

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