यदि {}^{20}C_{r},(1+x)^{20} के विस्तार में x^ | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum_{r=0}^{n} r(r-1) \cdot {}^{n}C_{r} = n(n-1) \cdot 2^{n-2}$.हम $r^{

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$420 	imes 2^{18}$

Vedclass · Answer

(D) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{n} r \cdot {}^{n}C_{r} = n \cdot 2^{n-1}$ और $\sum_{r=0}^{n} r(r-1) \cdot {}^{n}C_{r} = n(n-1) \cdot 2^{n-2}$.हम $r^{2} = r(r-1) + r$ लिख सकते हैं।अतः,$\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r} = \sum_{r=0}^{20} [r(r-1) + r] \cdot {}^{20}C_{r}$.$= \sum_{r=0}^{20} r(r-1) \cdot {}^{20}C_{r} + \sum_{r=0}^{20} r \cdot {}^{20}C_{r}$.$n=20$ के साथ सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:$= 20 	imes 19 	imes 2^{20-2} + 20 	imes 2^{20-1}$.$= 380 	imes 2^{18} + 20 	imes 2^{19}$.$= 380 	imes 2^{18} + 40 	imes 2^{18}$.$= (380 + 40) 	imes 2^{18} = 420 	imes 2^{18}$.

यदि ${}^{20}C_{r}$,$(1+x)^{20}$ के विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक है,तो $\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r}$ का मान किसके बराबर है?

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