यदि z और omega दो ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं क | vedclass

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Question

(C) दिया है $|z \omega| = 1$ और $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$.मान लीजिए $z = r e^{i 	heta_1}$ और $\omega = \frac{1}{r} e^{i 	heta_2}$.त

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$-\frac{3 \pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) दिया है $|z \omega| = 1$ और $\arg(z) - \arg(\omega) = \frac{3 \pi}{2}$.मान लीजिए $z = r e^{i 	heta_1}$ और $\omega = \frac{1}{r} e^{i 	heta_2}$.तब $\bar{z} = r e^{-i 	heta_1}$.अतः,$\bar{z} \omega = r e^{-i 	heta_1} \cdot \frac{1}{r} e^{i 	heta_2} = e^{i(	heta_2 - 	heta_1)}$.चूंकि $	heta_1 - 	heta_2 = \frac{3 \pi}{2}$,इसलिए $	heta_2 - 	heta_1 = -\frac{3 \pi}{2} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$.अतः,$\bar{z} \omega = e^{i \pi/2} = i$.अब,इस मान को व्यंजक में रखने पर:$\frac{1 - 2 \bar{z} \omega}{1 + 3 \bar{z} \omega} = \frac{1 - 2i}{1 + 3i}$.कोणांक ज्ञात करने के लिए,हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:$\frac{1 - 2i}{1 + 3i} 	imes \frac{1 - 3i}{1 - 3i} = \frac{1 - 3i - 2i + 6i^2}{1^2 + 3^2} = \frac{1 - 5i - 6}{10} = \frac{-5 - 5i}{10} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.यह सम्मिश्र संख्या तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।इसका कोणांक $	an^{-1}\left(\frac{-1/2}{-1/2}ight) - \pi = 	an^{-1}(1) - \pi = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3 \pi}{4}$ है।

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