समीकरण z^4+z^2+1=0 के एक अवास्तविक मूल z के ल | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $z^4+z^2+1=0$ है। $z^2$ से भाग देने पर ($z 
eq 0$ होने के कारण),हमें $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z^2+\

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$8$

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(D) दिया गया समीकरण $z^4+z^2+1=0$ है। $z^2$ से भाग देने पर ($z 
eq 0$ होने के कारण),हमें $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$। साथ ही,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,इसलिए $z+\frac{1}{z} = \pm 1$। $z^3+\frac{1}{z^3}$ के लिए,हम सर्वसमिका $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ का उपयोग करते हैं। यदि $z+\frac{1}{z} = 1$ है,तो $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$। व्यंजक $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ हो जाता है। यदि $z+\frac{1}{z} = -1$ है,तो $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$। व्यंजक $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ हो जाता है। समीकरण $z^4+z^2+1=0$ के मूल $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ हैं। इनके लिए,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$। अतः,मान $8$ है।

समीकरण $z^4+z^2+1=0$ के एक अवास्तविक मूल $z$ के लिए,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^3$ का मान ज्ञात कीजिए।

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