यदि x+frac{1}{x}=2 sin alpha और y+frac{1}{y}= | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$। द्विघात सूत्र $x^2 - (2 \sin \alpha)x + 1 = 0$ का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \sin \a

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$2 \sin 3(\beta-\alpha)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$। द्विघात सूत्र $x^2 - (2 \sin \alpha)x + 1 = 0$ का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \sin \alpha \pm i \cos \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \pm i \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = e^{\pm i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ प्राप्त होता है।$x = e^{i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ लेने पर,$x^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha)}$।दिया गया है कि $y+\frac{1}{y}=2 \cos \beta$। $y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = \cos \beta \pm i \sin \beta = e^{\pm i\beta}$ प्राप्त होता है।$y = e^{i\beta}$ लेने पर,$y^3 = e^{i3\beta}$।अतः,$x^3 y^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha + 3\beta)} = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) + i \sin(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) = \sin(3(\beta - \alpha)) - i \cos(3(\beta - \alpha))$।इसी प्रकार,$\frac{1}{x^3 y^3} = \sin(3(\beta - \alpha)) + i \cos(3(\beta - \alpha))$।इनका योग करने पर,$x^3 y^3 + \frac{1}{x^3 y^3} = 2 \sin(3(\beta - \alpha))$।अतः,सही विकल्प $C$ है।

List-$I$	List-$II$
$(i)$ $a \bar{a}$	$(A)$ $-\frac{\pi}{3}$
$(ii)$ $\arg \left(\frac{1}{\bar{a}}\right)$	$(B)$ $-i \sqrt{3}$
$(iii)$ $a - \bar{a}$	$(C)$ $2i / \sqrt{3}$
$(iv)$ $\operatorname{Im}\left(\frac{4}{3a}\right)$	$(D)$ $1$
	$(E)$ $\pi / 3$
	$(F)$ $\frac{2}{\sqrt{3}}$

यदि $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$ और $y+\frac{1}{y}=2 \cos \beta$ है,तो $x^3 y^3+\frac{1}{x^3 y^3}=$

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