સમીકરણ z^4+z^2+1=0 ના વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે. $z^2$ વડે ભાગતા ($z 
eq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$. વળી,$(

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ છે. $z^2$ વડે ભાગતા ($z 
eq 0$ હોવાથી),આપણને $z^2+1+\frac{1}{z^2}=0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z^2+\frac{1}{z^2}=-1$. વળી,$(z+\frac{1}{z})^2 = z^2+\frac{1}{z^2}+2 = -1+2 = 1$,તેથી $z+\frac{1}{z} = \pm 1$. $z^3+\frac{1}{z^3}$ માટે,આપણે નિત્યસમ $z^3+\frac{1}{z^3} = (z+\frac{1}{z})(z^2-1+\frac{1}{z^2}) = (z+\frac{1}{z})(-1-1) = -2(z+\frac{1}{z})$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. જો $z+\frac{1}{z} = 1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(1) = -2$. પદાવલિ $(1)^3+(-1)^2+(-2)^3 = 1+1-8 = -6$ બને છે. જો $z+\frac{1}{z} = -1$ હોય,તો $z^3+\frac{1}{z^3} = -2(-1) = 2$. પદાવલિ $(-1)^3+(-1)^2+(2)^3 = -1+1+8 = 8$ બને છે. સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના બીજ $e^{i2\pi/3}, e^{i4\pi/3}, e^{i8\pi/3}, e^{i10\pi/3}$ છે. આ માટે,$z+\frac{1}{z} = 2\cos(2\pi/3) = -1$. તેથી,કિંમત $8$ છે.

સમીકરણ $z^4+z^2+1=0$ ના વાસ્તવિક ન હોય તેવા બીજ $z$ માટે,$\left(z+\frac{1}{z}\right)^3+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^3$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ એવી છે કે જેથી $\frac{2z - 3i}{2z + i}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે. જો $x + y^2 = 0$ હોય,તો $y^4 + y^2 - y$ ની કિંમત શોધો:

જો $z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $\left|z-\frac{4}{z}\right|=2$ થાય,તો $|z|$ ની મહત્તમ કિંમત કેટલી થાય?

જો $\frac{1-10 i \cos \theta}{1-10 \sqrt{3} i \sin \theta}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય,તો $\theta$ ની એક કિંમત કઈ છે?

જો બિંદુ $(x, y)$ સમીકરણ $\frac{x+i(x-2)}{3+i}-i=\frac{2y+i(1-3y)}{i-3}$ નું સમાધાન કરે,તો $x+y=$

જો $(x + iy)^{1/3} = a + ib$ હોય,તો $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module