यदि lim _{x rightarrow 0} frac{alpha x e^{x}- | vedclass

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Question

(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$.चूंकि $\sin x \approx x$ जब $x

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$3$

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(C) दिया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$.चूंकि $\sin x \approx x$ जब $x \rightarrow 0$,व्यंजक $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x^{3}}=10$ हो जाता है।टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:$e^{x} = 1+x+\frac{x^{2}}{2}+\dots$$\log _{e}(1+x) = x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\dots$$e^{-x} = 1-x+\frac{x^{2}}{2}-\dots$मान रखने पर:$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{\alpha x(1+x+\frac{x^{2}}{2}) - \beta(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}) + \gamma x^{2}(1-x)}{x^{3}} = 10$$\lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{x(\alpha-\beta) + x^{2}(\alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma) + x^{3}(\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma)}{x^{3}} = 10$सीमा के अस्तित्व के लिए $x$ और $x^{2}$ के गुणांक $0$ होने चाहिए:$1) \alpha-\beta = 0 \Rightarrow \alpha = \beta$$2) \alpha+\frac{\beta}{2}+\gamma = 0 \Rightarrow \gamma = -\frac{3\alpha}{2}$$3) \frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{3}-\gamma = 10$$\alpha, \beta, \gamma$ के मान रखने पर:$\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{3}-(-\frac{3\alpha}{2}) = 10$ $\Rightarrow \frac{10\alpha}{6} = 10$ $\Rightarrow \alpha = 6$.अतः,$\alpha = 6, \beta = 6, \gamma = -9$.$\alpha+\beta+\gamma = 6+6-9 = 3$.

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x e^{x}-\beta \log _{e}(1+x)+\gamma x^{2} e^{-x}}{x \sin ^{2} x}=10$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in R$,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x}=2 a \sin ^2 \theta$, जहाँ $a>0$ और $\theta \in R$, तो:

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{{{(2x - 1)}^2}}} = \frac{1}{2}$ है,तो $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - a)(x - b)(x - c)}}{{x - 2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a \sin x-\sin 2 x}{\tan ^{3} x}$ का अस्तित्व है और यह $1$ के बराबर है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a_1 = 1$ और $a_{n+1} = \frac{4 + 3a_n}{3 + 2a_n}$,$n \ge 1$ के लिए,और यदि $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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