यदि lim _{x rightarrow 0}left{1+x log left(1+ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $\lim _{x ightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2ight)ight\}^{1 / x} = 2 a \sin ^2 	heta$।मानक सीमा $\lim _{x ightarrow 0} (1

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$	heta = n \pi + \frac{\pi}{2}, (n \in Z)$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $\lim _{x ightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2ight)ight\}^{1 / x} = 2 a \sin ^2 	heta$।मानक सीमा $\lim _{x ightarrow 0} (1+f(x))^{1/x} = e^{\lim _{x ightarrow 0} \frac{f(x)}{x}}$ का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:$e^{\lim _{x ightarrow 0} \frac{x \log(1+a^2)}{x}} = e^{\log(1+a^2)} = 1+a^2$।इसे दिए गए व्यंजक के बराबर रखने पर:$1+a^2 = 2a \sin^2 	heta$।$a$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर:$a^2 - (2 \sin^2 	heta)a + 1 = 0$।$a$ के वास्तविक संख्या होने के लिए, विविक्तकर $D \ge 0$:$D = (2 \sin^2 	heta)^2 - 4(1)(1) \ge 0$$\Rightarrow 4 \sin^4 	heta - 4 \ge 0$$\Rightarrow \sin^4 	heta \ge 1$।चूंकि सभी $	heta$ के लिए $\sin^4 	heta \le 1$ होता है, इसलिए एकमात्र संभावना $\sin^4 	heta = 1$ है।$\Rightarrow \sin^2 	heta = 1 = \sin^2 \frac{\pi}{2}$।$\Rightarrow 	heta = n\pi \pm \frac{\pi}{2}$, जो $n \in Z$ के लिए $	heta = n\pi + \frac{\pi}{2}$ के रूप में सरल होता है।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0}\left\{1+x \log \left(1+a^2\right)\right\}^{1 / x}=2 a \sin ^2 \theta$, जहाँ $a>0$ और $\theta \in R$, तो:

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यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right) - ax}}{{{x^2}}} = l$ है,तो $(a + l)$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $l$ एक परिमित संख्या है)।

माना $\alpha, \beta \in R$ इस प्रकार हैं कि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin (\beta x)}{\alpha x-\sin x}=1$ है। तब $6(\alpha+\beta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं, तो $\lim_{x \rightarrow \beta} \frac{1 - \cos(ax^2 + bx + c)}{(x - \beta)^2}$ का मान क्या है?

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं,तो $\lim_{x \rightarrow \alpha} \frac{1-\cos(ax^2+bx+c)}{(x-\alpha)^2} =$

$a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a\cos x) - b\sin x}}{{{x^3}}} = 1$ हो।

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