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Question

(C) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{x(1 + a\cos x) - b\sin x}}{{{x^3}}} = 1$।$\cos x$ और $\sin x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग

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$a = -\frac{5}{2}, b = -\frac{3}{2}$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{x(1 + a\cos x) - b\sin x}}{{{x^3}}} = 1$।$\cos x$ और $\sin x$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{x(1 + a(1 - \frac{x^2}{2} + \dots)) - b(x - \frac{x^3}{6} + \dots)}}{{{x^3}}} = 1$$\mathop {\lim }\limits_{x 	o 0} \frac{{x(1 + a - b) + x^3(\frac{b}{6} - \frac{a}{2}) + \dots}}{{{x^3}}} = 1$सीमा के अस्तित्व और $1$ के बराबर होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:$1 + a - b = 0 \implies b - a = 1$और $x^3$ का गुणांक $1$ होना चाहिए:$\frac{b}{6} - \frac{a}{2} = 1 \implies b - 3a = 6$समीकरणों को हल करने पर: $a = -\frac{5}{2}$ और $b = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

$a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x(1 + a\cos x) - b\sin x}}{{{x^3}}} = 1$ हो।

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यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^4} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to k} \frac{{{x^3} - {k^3}}}{{{x^2} - {k^2}}}$,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (2 x)+a \cos (4 x)-b}{x^4}$ परिमित है,तो $(a+b)$ का मान ज्ञात कीजिए :

यदि $\mathop {Lim}\limits_{x \to 0} (x^{-3} \sin 3x + ax^{-2} + b)$ का अस्तित्व है और यह शून्य के बराबर है,तो:

अचर $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात कीजिए ताकि $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x + 1} - \alpha x - \beta \right) = 0$ हो।

यदि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 a \sin x-\sin 2 x}{\tan ^{3} x}$ का अस्तित्व है और यह $1$ के बराबर है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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