જો x = x(y) એ વિકલ સમીકરણ y frac{dx}{dy} = 2x | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ છે.$y$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ મળે છે.આ $\frac{

Vedclass · Accepted Answer

$e^{3}(e^{e}-1)$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ છે.$y$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dx}{dy} - \frac{2}{y}x = y^{2}(y+1)e^{y}$ મળે છે.આ $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = -\frac{2}{y}$ અને $Q(y) = y^{2}(y+1)e^{y}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{2}{y} dy} = e^{-2 \ln|y|} = \frac{1}{y^{2}}$ છે.ઉકેલ $x \cdot (I.F.) = \int Q(y) \cdot (I.F.) dy + C$ દ્વારા મળે છે.$x \cdot \frac{1}{y^{2}} = \int y^{2}(y+1)e^{y} \cdot \frac{1}{y^{2}} dy = \int (y+1)e^{y} dy$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int (y+1)e^{y} dy = (y+1)e^{y} - \int e^{y} dy = (y+1)e^{y} - e^{y} + C = ye^{y} + C$.તેથી,$\frac{x}{y^{2}} = ye^{y} + C$,જેનો અર્થ છે કે $x = y^{3}e^{y} + Cy^{2}$.$x(1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = (1)^{3}e^{1} + C(1)^{2} \Rightarrow C = -e$.આમ,ઉકેલ $x = y^{3}e^{y} - ey^{2}$ છે.$x(e)$ માટે,$y = e$ મૂકતા: $x(e) = e^{3}e^{e} - ee^{2} = e^{3}e^{e} - e^{3} = e^{3}(e^{e}-1)$.

જો $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $y \frac{dx}{dy} = 2x + y^{3}(y+1)e^{y}$ નો ઉકેલ હોય અને પ્રારંભિક શરત $x(1) = 0$ હોય,તો $x(e)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\frac{5}{x(x^5+1)}y=\frac{(x^5+1)^2}{x^7}$,$x > 0$ માટે ઉકેલ છે. જો $y(1)=2$ હોય,તો $y(2)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-y^2} dx + x dy - \sin^{-1} y dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

સમીકરણ $(1+y+x^2 y) dx+(x+x^3) dy=0$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module