જો y = y(x),x in left(0, frac{pi}{2}right) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ છે.$\sin^2 2x$ વડે ભાગતા,$\fr

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(\sin^2 2x) \frac{dy}{dx} + (8 \sin^2 2x + 4 \sin 2x \cos 2x) y = 2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)$ છે.$\sin^2 2x$ વડે ભાગતા,$\frac{dy}{dx} + (8 + 4 \cot 2x) y = \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x}$ મળે.આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = 8 + 4 \cot 2x$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int (8 + 4 \cot 2x) dx} = e^{8x + 2 \ln(\sin 2x)} = e^{8x} \sin^2 2x$.ઉકેલ $y \cdot (e^{8x} \sin^2 2x) = \int (e^{8x} \sin^2 2x) \cdot \frac{2 e^{-4x} (2 \sin 2x + \cos 2x)}{\sin^2 2x} dx + C$ છે.$y e^{8x} \sin^2 2x = \int 2 e^{4x} (2 \sin 2x + \cos 2x) dx + C$.સૂત્ર $\int e^{ax} (a f(x) + f'(x)) dx = e^{ax} f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sin 2x$ લેતા,$f'(x) = 2 \cos 2x$ મળે. તેથી સંકલન $e^{4x} \sin 2x + C$ થાય.આમ,$y e^{8x} \sin^2 2x = e^{4x} \sin 2x + C$.$y(\frac{\pi}{4}) = e^{-\pi}$ આપેલ હોવાથી,$e^{-\pi} e^{2\pi} (1)^2 = e^{\pi} (1) + C \Rightarrow C = 0$ મળે.તેથી,$y = \frac{e^{-4x}}{\sin 2x}$.$x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{e^{-4(\pi/6)}}{\sin(\pi/3)} = \frac{e^{-2\pi/3}}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-2\pi/3}$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dx}{dy} = \frac{x}{1 + x e^y \cos(x^2)}$ નો ઉકેલ શોધો (જ્યાં $c$ સંકલનનો અચળાંક છે):

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) શોધો.

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ એક સતત વિધેય છે જે $f(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt$ નું સમાધાન કરે છે. તો, $f(\log_{e} 5)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module