જો z એ એક સંકર સંખ્યા છે જે |z^3+z^{-3}| leq | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. ધારો કે $z = re^{i	heta}$. તો $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપય

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$. ધારો કે $z = re^{i	heta}$. તો $|z^3+z^{-3}| = |r^3e^{i3	heta} + r^{-3}e^{-i3	heta}| \leq 2$. ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z^3+z^{-3}| \geq | |z^3| - |z^{-3}| | = |r^3 - r^{-3}|$. જો કે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|z^3+z^{-3}| \leq |z^3| + |z^{-3}| = r^3 + r^{-3}$. $AM$-$GM$ અસમતા દ્વારા,$r^3 + r^{-3} \geq 2$. કારણ કે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ અને $r^3+r^{-3} \geq 2$,તેથી શરત સંતોષવા માટે $|z|=1$ હોવું જરૂરી છે. જો $|z|=1$,તો $z = e^{i	heta}$,તેથી $|z+z^{-1}| = |e^{i	heta} + e^{-i	heta}| = |2\cos	heta|$. $|2\cos	heta|$ ની મહત્તમ કિંમત $2$ છે જ્યારે $\cos	heta = \pm 1$ હોય.

જો $z$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જે $|z^3+z^{-3}| \leq 2$ નું સમાધાન કરે છે,તો $|z+z^{-1}|$ ની મહત્તમ શક્ય કિંમત શું છે?

Similar Questions

જ્યારે $x = \frac{4 + 5i}{2}$ હોય ત્યારે $4x^3 - 4x^2 - 7x + 127$ ની કિંમત શોધો.

સમીકરણ $z^3+\overline{z}=0$ ના તમામ શક્ય ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $z \in \mathbb{C}$ એવું છે કે $\frac{z^2+3i}{z-2+i}=2+3i$. તો $z^2$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\frac{(1+i)^{2016}}{(1-i)^{2014}}$ ની કિંમત શોધો.

જો સમીકરણ $4x^4 - 24x^3 + 57x^2 + 18x - 45 = 0$ નું એક બીજ $3 + i\sqrt{6}$ હોય,તો તેના વાસ્તવિક બીજોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module