જો int limits_{frac{1}{3}}^3 |log_e x| dx = f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે સંકલન $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ ની ગણતરી કરીએ. કારણ કે $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ માટે $\log_e x < 0$ અને $x \in [1, 3]$ માટે $\

Vedclass · Accepted Answer

$20$

Vedclass · Answer

(A) આપણે સંકલન $I = \int_{\frac{1}{3}}^3 |\log_e x| dx$ ની ગણતરી કરીએ. કારણ કે $x \in [\frac{1}{3}, 1)$ માટે $\log_e x $I = \int_{\frac{1}{3}}^1 -\log_e x dx + \int_1^3 \log_e x dx$સૂત્ર $\int \log_e x dx = x \log_e x - x$ નો ઉપયોગ કરતા:$I = -[x \log_e x - x]_{\frac{1}{3}}^1 + [x \log_e x - x]_1^3$$I = -[(1 \log_e 1 - 1) - (\frac{1}{3} \log_e \frac{1}{3} - \frac{1}{3})] + [(3 \log_e 3 - 3) - (1 \log_e 1 - 1)]$$I = -[-1 - (-\frac{1}{3} \log_e 3 - \frac{1}{3})] + [3 \log_e 3 - 3 + 1]$$I = -[-1 + \frac{1}{3} \log_e 3 + \frac{1}{3}] + [3 \log_e 3 - 2]$$I = -[-\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \log_e 3] + 3 \log_e 3 - 2$$I = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \log_e 3 + 3 \log_e 3 - 2 = \frac{8}{3} \log_e 3 - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} (2 \log_e 3 - 1) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{3^2}{e}) = \frac{4}{3} \log_e (\frac{9}{e})$.આને $\frac{m}{n} \log_e (\frac{n^2}{e})$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 4$ અને $n = 3$ મળે છે.આ પરસ્પર અવિભાજ્ય પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે.તેથી,$m^2 + n^2 - 5 = 4^2 + 3^2 - 5 = 16 + 9 - 5 = 20$.

Similar Questions

$\int_1^2 \left( \tan ^{-1}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{x^2+1}{x}\right) \right) d x =$

$\int_{1/e}^{\tan x} \frac{t \, dt}{1 + t^2} + \int_{1/e}^{\cot x} \frac{dt}{t(1 + t^2)}$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{0}^{\sqrt{2}} [x^2] \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો,જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

સંકલન $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{4 - \csc^2 x}{\cos^4 x} dx$ નું મૂલ્ય શોધો:

$I = \int_{0}^{1} x \left| x - \frac{1}{2} \right| dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module