यदि phi(x) = frac{1}{sqrt{x}} int limits_0^x | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$. दोनों पक्षों को $\sqrt{x}$ से गुणा करने प

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$\frac{8}{6+\sqrt{\pi}}$

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(C) दिया गया है $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$. दोनों पक्षों को $\sqrt{x}$ से गुणा करने पर,$\sqrt{x} \phi(x) = \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt$ प्राप्त होता है। लीबनीज़ नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{2\sqrt{x}} \phi(x) + \sqrt{x} \phi^{\prime}(x) = 4 \sqrt{2} \sin x - 3 \phi^{\prime}(x)$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $\phi^{\prime}(x) (3 + \sqrt{x}) = 4 \sqrt{2} \sin x - \frac{\phi(x)}{2\sqrt{x}}$. $x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$\sqrt{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ और $\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$. इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{8}{6+\sqrt{\pi}}$ प्राप्त होता है।

स्तंभ $I$	स्तंभ $II$
$(A)$ अवकल समीकरण $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ के शून्येतर हलों के प्रांत में निहित अंतराल	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ समाकलन $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ का मान रखने वाला अंतराल	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ अंतराल जिसमें $\cos^2 x+\sin x$ के स्थानीय उच्चतम बिंदुओं में से कम से कम एक बिंदु स्थित है	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ अंतराल जिसमें $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ वर्धमान है	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

यदि $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ है,तो $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$(0, \pi)$ में एक सतत अवकलनीय फलन $\phi (x)$ जो $y' = 1 + y^2$ और $y(0) = 0 = y(\pi)$ को संतुष्ट करता है,वह है

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