જો $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \int \limits_0^x (4 \sqrt{2} \sin t - 3 \phi^{\prime}(t)) dt, \quad x > 0$ હોય,તો $\phi^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{d^2y}{dx^2} = \sec^2 x + x e^x$ નો ઉકેલ શોધો.

ચકાસો કે આપેલ વિધેય $y = x \sin x$ એ વિકલ સમીકરણ $x y^{\prime} = y + x \sqrt{x^2 - y^2}$ નો ઉકેલ છે (જ્યાં $x \neq 0$ અને $x > y$ અથવા $x < -y$).

વક્રોનું એવું કુળ શોધો કે જેથી કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરના સ્પર્શક અને વક્ર $xy = c^2$ ના છેદબિંદુ પરના સ્પર્શક વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોય.

બધા વર્તુળોના પરિવારને ધ્યાનમાં લો જેના કેન્દ્રો સીધી રેખા $y = x$ પર આવેલા છે. જો આ વર્તુળોના પરિવારને વિકલ સમીકરણ $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,જ્યાં $P, Q$ એ $x, y$ અને $y^{\prime}$ ના વિધેયો છે (અહીં $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

વિકલ સમીકરણ $\frac{d^2 y}{d x^2}+y=0$ નો ઉકેલ શું છે?