यदि (a, b) उस त्रिभुज का लंबकेंद्र है जिसके श | vedclass

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Question

(A) माना शीर्ष $A(1, 2), B(2, 3)$ और $C(3, 1)$ हैं।सबसे पहले,लंबकेंद्र $(a, b)$ ज्ञात करें।$BC$ की ढाल $= \frac{1 - 3}{3 - 2} = -2$ है। $A$ से $BC$ पर

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$72$

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(A) माना शीर्ष $A(1, 2), B(2, 3)$ और $C(3, 1)$ हैं।सबसे पहले,लंबकेंद्र $(a, b)$ ज्ञात करें।$BC$ की ढाल $= \frac{1 - 3}{3 - 2} = -2$ है। $A$ से $BC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $\frac{1}{2}$ है।$A$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - 2 = \frac{1}{2}(x - 1) \implies x - 2y + 3 = 0$ है।$AC$ की ढाल $= \frac{1 - 2}{3 - 1} = -\frac{1}{2}$ है। $B$ से $AC$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $2$ है।$B$ से शीर्षलंब का समीकरण: $y - 3 = 2(x - 2) \implies 2x - y - 1 = 0$ है।$x - 2y = -3$ और $2x - y = 1$ को हल करने पर,हमें $x = \frac{5}{3}, y = \frac{7}{3}$ प्राप्त होता है। अतः $(a, b) = (\frac{5}{3}, \frac{7}{3})$ है।ध्यान दें कि $a + b = \frac{5}{3} + \frac{7}{3} = 4$ है।अब,$I_1 = \int_{a}^{b} x \sin(4x - x^2) dx$ है। गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a + b - x) dx$ का उपयोग करते हुए:$I_1 = \int_{a}^{b} (a + b - x) \sin(4(a + b - x) - (a + b - x)^2) dx$चूँकि $a + b = 4$ है,$I_1 = \int_{a}^{b} (4 - x) \sin(4(4 - x) - (4 - x)^2) dx = \int_{a}^{b} (4 - x) \sin(4x - x^2) dx$ है।अतः,$I_1 = 4 \int_{a}^{b} \sin(4x - x^2) dx - I_1 \implies 2I_1 = 4I_2 \implies \frac{I_1}{I_2} = 2$ है।इसलिए,$36 \frac{I_1}{I_2} = 36 	imes 2 = 72$ है।

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