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Question

(D) माना कि दिया गया व्यंजक $S = \sum\limits_{n = 1}^{10} \int_{ - 2n - 1}^{2n} \sin^{27}x \, dx + \sum\limits_{n = 1}^{10} \int_{2n}^{2n + 1} \sin^{2

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(D) माना कि दिया गया व्यंजक $S = \sum\limits_{n = 1}^{10} \int_{ - 2n - 1}^{2n} \sin^{27}x \, dx + \sum\limits_{n = 1}^{10} \int_{2n}^{2n + 1} \sin^{27}x \, dx$ है। निश्चित समाकलन के गुणधर्म के अनुसार,$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$ होता है। अतः,$S = \sum\limits_{n = 1}^{10} \int_{ - 2n - 1}^{2n + 1} \sin^{27}x \, dx$। चूँकि $\sin^{27}x$ एक विषम फलन है,इसलिए $\int_{-a}^{a} \sin^{27}x \, dx = 0$ होता है। अतः,प्रत्येक $n$ के लिए $\int_{ - (2n + 1)}^{(2n + 1)} \sin^{27}x \, dx = 0$ होगा। इसलिए,$S = \sum\limits_{n = 1}^{10} 0 = 0$।

$\left[ {\sum\limits_{n = 1}^{10} {\int_{ - 2n - 1}^{2n} {{{\sin }^{27}}x\,dx} } } \right] + \left[ {\sum\limits_{n = 1}^{10} {\int_{2n}^{2n + 1} {{{\sin }^{27}}x\,dx} } } \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$,$I_1 = \int_{f(-a)}^{f(a)} x g\{x(1 - x)\} dx$,और $I_2 = \int_{f(-a)}^{f(a)} g\{x(1 - x)\} dx$ है,तो $\frac{I_2}{I_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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