यदि $\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log |x|+\frac{\alpha}{2}$ अवकल समीकरण $x \cos \left(\frac{y}{x}\right) \frac{d y}{d x}=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)+x$ का हल है और $y(1)=\frac{\pi}{3}$ है,तो $\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $2 P(A) = P(B) = \frac{5}{13}$ और $P(A \mid B) = \frac{2}{5}$ है,तो $P(A \cup B) =$ . . . . . . .

$\left( 1, \frac{\pi}{4} \right)$ से गुजरने वाले एक वक्र के लिए $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{y}{x} - \cos^2\left( \frac{y}{x} \right)$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

अवकल समीकरण $2xy \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y^2$ का हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $p$ एक स्थिरांक है):

यदि अवकल समीकरण $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$ का हल वक्र $y=y(x)$ बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है और रेखा $y = \sqrt{3}x$ को बिंदु $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो $\log_{e}(\sqrt{3}\alpha)$ का मान क्या होगा?

माना अवकल समीकरण $\left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] x \frac{dy}{dx} = x + \left[\frac{x}{\sqrt{x^{2}-y^{2}}}+e^{\frac{y}{x}}\right] y$ का हल वक्र $y = y(x)$ बिंदुओं $(1, 0)$ और $(2\alpha, \alpha)$ से गुजरता है,जहाँ $\alpha > 0$ है। तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।