यदि a, b, c भिन्न धनात्मक संख्याएँ हैं,जिनमें | vedclass

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Question

(A) माना $x = \ln a, y = \ln b, z = \ln c$. चूँकि $a, b, c 
eq 1$,इसलिए $x, y, z 
eq 0$.दिया गया समीकरण: $[(\frac{x}{y})(\frac{x}{z}) - 1] + [(\frac

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$1$

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(A) माना $x = \ln a, y = \ln b, z = \ln c$. चूँकि $a, b, c 
eq 1$,इसलिए $x, y, z 
eq 0$.दिया गया समीकरण: $[(\frac{x}{y})(\frac{x}{z}) - 1] + [(\frac{y}{x})(\frac{y}{z}) - 1] + [(\frac{z}{x})(\frac{z}{y}) - 1] = 0$$\Rightarrow \frac{x^2}{yz} + \frac{y^2}{xz} + \frac{z^2}{xy} - 3 = 0$$\Rightarrow \frac{x^3 + y^3 + z^3}{xyz} = 3$$\Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0$सर्वसमिका $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0$ का उपयोग करने पर,या तो $x + y + z = 0$ या $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ प्राप्त होता है।यदि $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = 0$ है,तो $\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] = 0$,जिसका अर्थ है $x = y = z$,लेकिन $a, b, c$ भिन्न हैं।इसलिए,$x + y + z = 0$,जिसका अर्थ है $\ln a + \ln b + \ln c = 0$.$\Rightarrow \ln(abc) = 0 = \ln 1$.अतः,$abc = 1$.

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