यदि frac{dx}{dy} = frac{1+x-y^2}{y} और x(1) = | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = \frac{1-y^2}{y}$.यह $\frac{dx}

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} - \frac{x}{y} = \frac{1-y^2}{y}$.यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = -\frac{1}{y}$ और $Q(y) = \frac{1-y^2}{y}$ है।समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy} = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है।व्यापक हल $x \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF dy + C$ है।मान रखने पर: $x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1-y^2}{y}\right) \cdot \frac{1}{y} dy + C$.$x \cdot \frac{1}{y} = \int \left(\frac{1}{y^2} - 1\right) dy + C$.$x \cdot \frac{1}{y} = -\frac{1}{y} - y + C$.$y$ से गुणा करने पर: $x = -1 - y^2 + Cy$.शर्त $x(1) = 1$ दी गई है,इसलिए $y=1$ और $x=1$ रखने पर: $1 = -1 - (1)^2 + C(1) \Rightarrow 1 = -2 + C \Rightarrow C = 3$.अतः,विशिष्ट हल $x = -1 - y^2 + 3y$ है।$5x(2)$ ज्ञात करने के लिए,$y=2$ रखने पर: $x(2) = -1 - (2)^2 + 3(2) = -1 - 4 + 6 = 1$.इसलिए,$5x(2) = 5(1) = 5$.

यदि $\frac{dx}{dy} = \frac{1+x-y^2}{y}$ और $x(1) = 1$ है,तो $5x(2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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एक फलन $y = f(x)$ अवकल समीकरण $f(x) \sin 2x - \cos x + (1 + \sin^2 x) f'(x) = 0$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $f(0) = 0$ है। तो $f(\frac{\pi}{6})$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f$ एक अवकलनीय फलन है जैसे कि $f'(x) = 7 - \frac{3}{4} \frac{f(x)}{x}, (x > 0)$ और $f(1) \neq 4$ है। तो $\lim_{x \to 0^+} x f\left(\frac{1}{x}\right)$

मान लीजिए $y=y(x), y>0$,अवकल समीकरण $(1+x^2) dy = y(x-y) dx$ का एक हल वक्र है। यदि $y(0)=1$ और $y(2\sqrt{2})=\beta$ है,तो

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + y \log x = x^2$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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