यदि $z$ एक ऐसी सम्मिश्र संख्या है कि $z^2 = (\bar{z})^2$,तो

त्रिघातीय समीकरण $(z + ab)^3 = a^3$ के मूल,जहाँ $a \neq 0$,एक त्रिभुज के शीर्षों को दर्शाते हैं जिसकी भुजाओं की लंबाई क्या है?

मान लीजिए $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ और $P = \{w^n : n = 1, 2, 3, \ldots\}$ है। इसके अलावा, $H_1 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) > \frac{1}{2}\}$ और $H_2 = \{z \in C : \operatorname{Re}(z) < -\frac{1}{2}\}$, जहाँ $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। यदि $z_1 \in P \cap H_1$, $z_2 \in P \cap H_2$, और $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है, तो $\angle z_1 O z_2$ क्या हो सकता है?

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,यदि $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ है,तो:

माना बिंदु $P = \alpha + i\beta$,जहाँ $\alpha, \beta > 0$,आर्गंड समतल पर क्रमिक रूप से निम्नलिखित तीन रूपांतरणों से गुजरता है:
$(I)$ $\text{amp}(z) = \frac{\pi}{4}$ के सापेक्ष परावर्तन
$(II)$ वास्तविक अक्ष की धनात्मक दिशा में $\beta$ इकाई दूरी का स्थानांतरण
$(III)$ मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन
यदि बिंदु की अंतिम स्थिति $Q = -\sqrt{2} + i\sqrt{6}$ है,तो:

$S = \{z \in \mathbb{C} : |z - 1 + i| = 1\}$ क्या दर्शाता है?