किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z_1, z_2 के लिए, | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$. गुणधर्म $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(	heta_1 - 	heta_2)$ का उपयोग करने

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$	ext{Re} \left( \frac{z_1}{z_2} ight) = 0$

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(A) दिया गया है $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$. गुणधर्म $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(	heta_1 - 	heta_2)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $	heta_1 = \arg(z_1)$ और $	heta_2 = \arg(z_2)$ है। इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(	heta_1 - 	heta_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2$. इससे $2|z_1||z_2| \cos(	heta_1 - 	heta_2) = 0$ प्राप्त होता है। यदि $z_1, z_2 
eq 0$ है,तो $\cos(	heta_1 - 	heta_2) = 0$ होगा। इसका अर्थ है $	heta_1 - 	heta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$। अतः,$\arg\left( \frac{z_1}{z_2} ight) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \pm \frac{\pi}{2}$। चूँकि $\frac{z_1}{z_2}$ का कोणांक $\pm \frac{\pi}{2}$ है,इसलिए $\frac{z_1}{z_2}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है। अतः,$	ext{Re} \left( \frac{z_1}{z_2} ight) = 0$।

किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2$ के लिए,यदि $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ है,तो:

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