यदि a और b 0 और 1 के बीच की वास्तविक संख्याएँ | vedclass

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Question

(B) चूँकि शीर्ष $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ और $z_3 = 0$ वाला त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ होगा।मान

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$a = b = 2 - \sqrt{3}$

Vedclass · Answer

(B) चूँकि शीर्ष $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ और $z_3 = 0$ वाला त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ होगा।मान रखने पर,$(a + i)^2 + (1 + bi)^2 + 0 = (a + i)(1 + bi)$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $(a^2 - 1 + 2ai) + (1 - b^2 + 2bi) = a + abi + i - b$।सरल करने पर: $(a^2 - b^2) + 2i(a + b) = (a - b) + i(1 + ab)$।वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:$a^2 - b^2 = a - b$ ... $(i)$$2(a + b) = 1 + ab$ ... $(ii)$$(i)$ से,$(a - b)(a + b) = (a - b)$,जिसका अर्थ है $(a - b)(a + b - 1) = 0$।अतः,या तो $a = b$ या $a + b = 1$।स्थिति $1$: यदि $a = b$ है,तो $(ii)$ से,$2(2a) = 1 + a^2$,यानी $a^2 - 4a + 1 = 0$।$a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$।चूँकि $0 स्थिति $2$: यदि $a + b = 1$ है,तो $b = 1 - a$। $(ii)$ में रखने पर,$2(1) = 1 + a(1 - a)$,जो $a^2 - a + 1 = 0$ देता है। इस समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।अतः,एकमात्र हल $a = b = 2 - \sqrt{3}$ है।

यदि $a$ और $b$ $0$ और $1$ के बीच की वास्तविक संख्याएँ हैं,ताकि बिंदु $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ और $z_3 = 0$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,तो

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