यदि {z_1} और {z_2} दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं ज | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right| = 1$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right|^2 = 1$. इसक

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शून्य या शुद्ध काल्पनिक

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(C) दिया गया है $\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} ight| = 1$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} ight|^2 = 1$. इसका अर्थ है $(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})$. दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} = z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2}$. सरल करने पर,$2(z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}) = 0$,जिसका अर्थ है $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$. यह दर्शाता है कि $2 	ext{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,इसलिए $z_1\overline{z_2}$ का वास्तविक भाग $0$ है। मान लीजिए $\frac{z_1}{z_2} = x + iy$. तब $z_1 = z_2(x + iy)$. इस मान को $	ext{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$ में रखने पर,हमें $|z_2|^2 x = 0$ प्राप्त होता है। चूँकि $z_2 
eq 0$,इसलिए $x = 0$ होना चाहिए। अतः,$\frac{z_1}{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है। यदि $z_1 = 0$ है,तो $\frac{z_1}{z_2} = 0$ है। इसलिए,$\frac{z_1}{z_2}$ शून्य या शुद्ध काल्पनिक है।

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