यदि f: R rightarrow R एक दो बार अवकलनीय फलन ह | vedclass

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Question

(D) एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ और $f(1) = 1$,इसलिए $h(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - \fr

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$f^{\prime}(1) > 1$

Vedclass · Answer

(D) एक फलन $h(x) = f(x) - x$ को परिभाषित करें।दिया गया है कि $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ और $f(1) = 1$,इसलिए $h(\frac{1}{2}) = f(\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} = 0$ और $h(1) = f(1) - 1 = 0$ है।चूंकि $f(x)$ दो बार अवकलनीय है,इसलिए $h(x)$ भी $[\frac{1}{2}, 1]$ पर अवकलनीय है।रोल के प्रमेय के अनुसार,कोई $\alpha \in (\frac{1}{2}, 1)$ मौजूद है जिसके लिए $h^{\prime}(\alpha) = 0$ है।चूंकि $h^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - 1$,इसका अर्थ है कि $f^{\prime}(\alpha) = 1$ है।हमें दिया गया है कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f^{\prime}(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।चूंकि $\alpha $f^{\prime}(\alpha) = 1$ रखने पर,हमें $1 < f^{\prime}(1)$ प्राप्त होता है।

यदि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in R$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) > 0$ है,और $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$,$f(1) = 1$ है,तो

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यदि $f(x)$ एक दो बार अवकलनीय बहुपद फलन है,जैसे कि $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$,तो:

मान लीजिए $f(x) = \begin{cases} x^\alpha \ln x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ है। यदि $\alpha = $ है,तो $x \in [0, 1]$ के लिए $f$ पर रोले का प्रमेय लागू होता है।

यदि फलन $f(x) = ax^3 - bx^2 - 8x - 4$ अंतराल $[1, 3]$ में रोले (Rolle's) प्रमेय को संतुष्ट करता है, और $f'(2) = 0$ है, तो $a - b$ का मान है:

मान लीजिए कि $f: R \rightarrow R$ एक दो बार सतत अवकलनीय फलन है, इस प्रकार कि $f(0) = f(1) = f^{\prime}(0) = 0$ है। तो:

यदि फलन $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $b c=$

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