यदि फलन f(x)=x^3+b x^2+c x-6 अंतराल [1,3] में | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।इसका अर्थ है $f(1)=f(3)$.$f(1) = 1+b+c-6 = b+c-5$.$f(3)

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$-66$

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(B) दिया गया है कि $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।इसका अर्थ है $f(1)=f(3)$.$f(1) = 1+b+c-6 = b+c-5$.$f(3) = 27+9b+3c-6 = 9b+3c+21$.दोनों को बराबर करने पर: $b+c-5 = 9b+3c+21 \implies 8b+2c = -26 \implies 4b+c = -13$ (समीकरण $1$).अब,$f^{\prime}(x) = 3x^2+2bx+c$.दिया गया है कि $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right) = f^{\prime}\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$.$f^{\prime}(x)=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं,और रोले के प्रमेय के अनुसार,$(1,3)$ में एक ऐसा $c$ मौजूद है जिसके लिए $f^{\prime}(c)=0$.$3x^2+2bx+c=0$ के मूल $x_1, x_2$ हैं। मूलों का योग $x_1+x_2 = -\frac{2b}{3}$ और गुणनफल $x_1 x_2 = \frac{c}{3}$ है।एक मूल $2+\frac{1}{\sqrt{3}}$ दिया गया है। चूँकि गुणांक परिमेय हैं,दूसरा मूल $2-\frac{1}{\sqrt{3}}$ होगा।मूलों का योग: $(2+\frac{1}{\sqrt{3}}) + (2-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 = -\frac{2b}{3} \implies b = -6$.समीकरण $1$ में $b=-6$ रखने पर: $4(-6)+c = -13 \implies -24+c = -13 \implies c = 11$.अतः,$bc = (-6)(11) = -66$.

यदि फलन $f(x)=x^3+b x^2+c x-6$ अंतराल $[1,3]$ में रोले के प्रमेय की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(\frac{2 \sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $b c=$

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