मान लीजिए g: R rightarrow R एक अचर न होने वाल | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{2}[g(x) + g(2-x)]$. अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(x) - g^{\prime}(2-x)]$. हमें $g^{\prime}\le

Vedclass · Accepted Answer

$(0,2)$ में कम से कम दो $x$ के लिए $f^{\prime}(x)=0$ है

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{1}{2}[g(x) + g(2-x)]$. अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(x) - g^{\prime}(2-x)]$. हमें $g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)$ दिया गया है। $x = \frac{1}{2}$ पर $f^{\prime}$ का मान: $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right)] = 0$. $x = \frac{3}{2}$ पर $f^{\prime}$ का मान: $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{2}[g^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) - g^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)] = 0$. चूँकि $f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right) = 0$ और $f^{\prime}\left(\frac{3}{2}\right) = 0$,अंतराल $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ पर रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ ऐसा मौजूद है कि $f^{\prime \prime}(c) = 0$ हो। साथ ही,ध्यान दें कि $f^{\prime}(1) = \frac{1}{2}[g^{\prime}(1) - g^{\prime}(1)] = 0$. अतः,$f^{\prime}(x)$ का मान $x = \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$ पर शून्य है। रोले के प्रमेय के अनुसार,$f^{\prime \prime}(x)$ का मान $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ में कम से कम एक बार और $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ में कम से कम एक बार शून्य होगा। इसलिए,$(0, 2)$ में कम से कम तीन मानों के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ है,जो विकल्प $A$ को संतुष्ट करता है।

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यदि $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 2-x, & 1 < x \leq 2 \end{cases}$ है, तो $f(x)$ पर रोले का प्रमेय लागू नहीं होता है क्योंकि

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