यदि i = sqrt{-1} है,तो 4 + 5left(-frac{1}{2} | vedclass

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Question

(C) माना $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $\omega^3 = 1$ है।दिया गया व्यंजक $4 + 5\omega^{334} + 3\omega^{

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$i\sqrt{3}$

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(C) माना $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है,जहाँ $\omega^3 = 1$ है।दिया गया व्यंजक $4 + 5\omega^{334} + 3\omega^{365}$ है।चूँकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^{334} = \omega^{333} \cdot \omega = (\omega^3)^{111} \cdot \omega = 1^{111} \cdot \omega = \omega$ है।इसी प्रकार,$\omega^{365} = \omega^{363} \cdot \omega^2 = (\omega^3)^{121} \cdot \omega^2 = 1^{121} \cdot \omega^2 = \omega^2$ है।इन मानों को व्यंजक में रखने पर:$4 + 5\omega + 3\omega^2$ प्राप्त होता है।गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करने पर,$\omega^2 = -1 - \omega$ है।इसे रखने पर:$4 + 5\omega + 3(-1 - \omega) = 4 + 5\omega - 3 - 3\omega = 1 + 2\omega$ प्राप्त होता है।$\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:$1 + 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - 1 + i\sqrt{3} = i\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $i = \sqrt{-1}$ है,तो $4 + 5\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{334} + 3\left(-\frac{1}{2} + \frac{i\sqrt{3}}{2}\right)^{365}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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