यदि alpha, beta समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के म | vedclass

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Question

(D) माना $S_1 = \alpha + \beta = -b/a$ और $S_2 = \alpha\beta = c/a$ है।दिया गया है कि $\alpha + \beta, \alpha^2 + \beta^2, \alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्त

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$c\Delta = 0$

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(D) माना $S_1 = \alpha + \beta = -b/a$ और $S_2 = \alpha\beta = c/a$ है।दिया गया है कि $\alpha + \beta, \alpha^2 + \beta^2, \alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं, अतः $(\alpha^2 + \beta^2)^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^3 + \beta^3)$ है।हम जानते हैं कि $\alpha^2 + \beta^2 = S_1^2 - 2S_2$ और $\alpha^3 + \beta^3 = S_1^3 - 3S_1S_2$ होता है।इनका प्रतिस्थापन करने पर: $(S_1^2 - 2S_2)^2 = S_1(S_1^3 - 3S_1S_2) = S_1^4 - 3S_1^2S_2$ प्राप्त होता है।विस्तार करने पर: $S_1^4 + 4S_2^2 - 4S_1^2S_2 = S_1^4 - 3S_1^2S_2$ प्राप्त होता है।सरल करने पर: $4S_2^2 - S_1^2S_2 = 0$, जिसका अर्थ है $S_2(4S_2 - S_1^2) = 0$ है।$S_1 = -b/a$ और $S_2 = c/a$ रखने पर: $(c/a)(4(c/a) - (-b/a)^2) = 0$ प्राप्त होता है।$(c/a)((4ac - b^2)/a^2) = 0$ है।चूँकि $\Delta = b^2 - 4ac$, हमारे पास $(c/a)(-\Delta/a^2) = 0$ है।अतः, $c\Delta = 0$ है।

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं और $\alpha + \beta, \alpha^2 + \beta^2, \alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं, जहाँ $\Delta = b^2 - 4ac$, तो:

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