જો $y=a \log x+b x^2+x$ ના અંતિમ મૂલ્યો $x=-1$ અને $x=2$ પર હોય,તો

જો કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ અને એક બાજુની લંબાઈનો સરવાળો આપેલો હોય,તો સાબિત કરો કે જ્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય ત્યારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

વિધેય $f(x) = \frac{x}{1 + x \tan x}$ તેની મહત્તમ કિંમત કયા બિંદુએ પ્રાપ્ત કરે છે?

$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા નળાકારની ઊંચાઈ $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$ છે તેમ સાબિત કરો. મહત્તમ ઘનફળ પણ શોધો.

ધારો કે $f:[-1,1] \rightarrow R$ એ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $x \in[-1,1]$ અને $a, b, c \in R$ છે,જેથી $f(-1)=2, f^{\prime}(-1)=1$ અને $x \in(-1,1)$ માટે $f^{\prime\prime}(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે. જો $f(x) \leq \alpha$ હોય,$x \in[-1,1],$ તો $\alpha$ ની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થાય?

ધારો કે વિધેય $f(x)$ એ અંતરાલ $[a, b]$ માં સતત છે. ધારો કે $\delta > 0$ એ ખૂબ જ નાની વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $c \in (a, b)$ એવું છે કે દરેક $\delta > 0$ માટે $f(c - \delta) < f(c)$ અને $f(c + \delta) < f(c)$ છે. ધારો કે દરેક $\alpha \in (a, b)$ અને $\alpha \neq c$ માટે $(f(\alpha - \delta) - f(\alpha))(f(\alpha + \delta) - f(\alpha)) < 0$ છે. તો: