$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલકમાં અંતર્ગત મહત્તમ ઘનફળ ધરાવતા નળાકારની ઊંચાઈ $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$ છે તેમ સાબિત કરો. મહત્તમ ઘનફળ પણ શોધો.

(A) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાના ગોલકમાં અંતર્ગત નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.
ગોલકની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે સંબંધ $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ છે,જેનો અર્થ છે $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$.
નળાકારનું ઘનફળ $V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$ મળે છે.
$\frac{dV}{dh} = 0$ લેતા,આપણને $\pi R^2 = \frac{3\pi h^2}{4}$ મળે છે,જે $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ આપે છે,તેથી $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$.
મહત્તમ મૂલ્ય ચકાસવા માટે,$\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$. $h > 0$ હોવાથી,$\frac{d^2V}{dh^2} < 0$ થાય છે,જે સાબિત કરે છે કે $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ મહત્તમ છે.
મહત્તમ ઘનફળ $V = \pi (R^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{4R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi (R^2 - \frac{R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi (\frac{2R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$ છે.