यदि f^{prime}(x)=tan ^{-1}(sec x+tan x),-frac | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}(\sec x + 	an x)$.इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:$f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1

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$\frac{\pi+1}{4}$

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(A) दिया गया है $f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}(\sec x + 	an x)$.इनवर्स टेंजेंट के अंदर के व्यंजक को सरल करने पर:$f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}ight)$अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं $\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$,$\cos x = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$,और $1 = \cos^2\frac{x}{2} + \sin^2\frac{x}{2}$ का उपयोग करने पर:$f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}\left[\frac{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}{(\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})}ight]$$f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \sin \frac{x}{2}}ight)$अंश और हर को $\cos \frac{x}{2}$ से विभाजित करने पर:$f^{\prime}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1 + 	an \frac{x}{2}}{1 - 	an \frac{x}{2}}ight) = 	an ^{-1}\left[	an \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}ight)ight]$अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}$.$x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$f(x) = \int \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}ight) dx = \frac{\pi x}{4} + \frac{x^2}{4} + C$.चूंकि $f(0) = 0$ दिया गया है,हमें $C = 0$ प्राप्त होता है।इसलिए,$f(x) = \frac{\pi x + x^2}{4}$.अतः,$f(1) = \frac{\pi(1) + (1)^2}{4} = \frac{\pi+1}{4}$.

यदि $f^{\prime}(x)=\tan ^{-1}(\sec x+\tan x),-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ और $f(0)=0$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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