यदि int frac{sin x}{sin (x-alpha)} dx = Ax + | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx$.अंश को $\sin x = \sin ((x-\alpha) + \alpha)$ के रूप में लिखा जा सकता है।$\sin (A+B) = \sin A \co

Vedclass · Accepted Answer

$\cos \alpha, \sin \alpha$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx$.अंश को $\sin x = \sin ((x-\alpha) + \alpha)$ के रूप में लिखा जा सकता है।$\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:$\sin ((x-\alpha) + \alpha) = \sin (x-\alpha) \cos \alpha + \cos (x-\alpha) \sin \alpha$.इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int \frac{\sin (x-\alpha) \cos \alpha + \cos (x-\alpha) \sin \alpha}{\sin (x-\alpha)} dx$.$I = \int \cos \alpha dx + \int \sin \alpha \frac{\cos (x-\alpha)}{\sin (x-\alpha)} dx$.$I = \cos \alpha \int dx + \sin \alpha \int \cot (x-\alpha) dx$.समाकलन करने पर,$I = x \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x-\alpha)| + c$ प्राप्त होता है।दिए गए रूप $Ax + B \log |\sin (x-\alpha)| + c$ से तुलना करने पर,$A = \cos \alpha$ और $B = \sin \alpha$ प्राप्त होते हैं।

यदि $\int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx = Ax + B \log |\sin (x-\alpha)| + c$ है,तो $A$ और $B$ के मान क्रमशः क्या हैं? (जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है)

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