જો n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો left( frac{n+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$n \ge 1$

Vedclass · Answer

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને $1! = 1$. $1 \ge 1$ હોવાથી,વિધાન $n = 1$ માટે સત્ય છે.$n = 2$ માટે: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ અને $2! = 2$. $2.25 \ge 2$ હોવાથી,વિધાન $n = 2$ માટે સત્ય છે.$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.તેથી $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,જે $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ આપે છે.બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ મળે છે,જે તમામ $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

જો $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ક્યારે સત્ય છે?

Similar Questions

શ્રેણી $\log a, \log \frac{a^2}{b}, \log \frac{a^3}{b^2}, \ldots$ એ

જો $1, \log _9(3^{1-x}+2), \log _3(4 \cdot 3^x-1)$ એ $A.P.$ માં હોય, તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{21}$ એ $A.P.$ માં હોય અને $a_3 + a_5 + a_{11} + a_{17} + a_{19} = 10$ હોય,તો $\sum_{r=1}^{21} a_r$ ની કિંમત શોધો.

જો $S_n = nP + \frac{1}{2}n(n - 1)Q$ હોય,જ્યાં $S_n$ એ $A.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે,તો સામાન્ય તફાવત શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module