यदि n एक प्राकृतिक संख्या है,तो left( frac{n+ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) हम असमिका $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ को $n \in \mathbb{N}$ के लिए जाँचते हैं।$n = 1$ के लिए: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 =

Vedclass · Accepted Answer

$n \ge 1$

Vedclass · Answer

(B) हम असमिका $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ को $n \in \mathbb{N}$ के लिए जाँचते हैं।$n = 1$ के लिए: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ और $1! = 1$. चूँकि $1 \ge 1$,कथन $n = 1$ के लिए सत्य है।$n = 2$ के लिए: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ और $2! = 2$. चूँकि $2.25 \ge 2$,कथन $n = 2$ के लिए सत्य है।$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.अतः $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,जो $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ देता है।दोनों पक्षों की घात $n$ करने पर,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ प्राप्त होता है,जो सभी $n \ge 1$ के लिए सत्य है।

यदि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,तो $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ कब सत्य है?

Similar Questions

यदि ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_{24}}$ समांतर श्रेणी में हैं और ${a_1} + {a_5} + {a_{10}} + {a_{15}} + {a_{20}} + {a_{24}} = 225$ है,तो ${a_1} + {a_2} + {a_3} + \dots + {a_{23}} + {a_{24}} = $

क्रमागत पूर्णांकों की एक $A.P.$ का प्रथम पद ${p^2} + 1$ है। इस श्रेणी के $(2p + 1)$ पदों के योग को किस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है?

यदि एक $A.P.$ के तीन क्रमागत पदों का योग $51$ है और अंतिम और पहले पद का गुणनफल $273$ है,तो संख्याएँ क्या हैं?

छह संख्याएँ एक $AP$ में हैं जिनका योग $3$ है। पहला पद तीसरे पद का $4$ गुना है। तो, पाँचवाँ पद क्या है?

$3+5+7+\ldots$ के $n$ पदों का योग क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module