यदि ${ }^{n+4} C_{n+1}-{ }^{n+3} C_n=15(n+2)$ है,तो $n=$

$12$ रिक्तियों को भरने के लिए $25$ उम्मीदवार हैं,जिनमें से $5$ अनुसूचित जाति के हैं। यदि $3$ रिक्तियां अनुसूचित जाति के उम्मीदवारों के लिए आरक्षित हैं और बाकी सभी के लिए खुली हैं,तो चयन करने के तरीकों की संख्या क्या है?

$7$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से,$3$ व्यंजनों और $2$ स्वरों से बनने वाले शब्दों की संख्या क्या है?

$n$ छात्रों में से पाँच छात्रों का चयन इस प्रकार किया जाता है कि $2$ विशेष छात्रों के चयन के तरीकों की संख्या और $2$ विशेष छात्रों के चयन न होने के तरीकों की संख्या का अनुपात $2:3$ है। तो $n$ का मान है

समीकरण $x+y+z=21$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ है।

यदि $20$ भिन्न अवयवों वाले समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ के $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है,तो $k$ का मान है